繁雾中的炽丽蔷薇

妮沫笛

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第25-3章 二次函数围成面积

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第25-3章 二次函数围成面积

(一)

蔷薇丛的蜕壳大致完成了,各处零零散散还有崩裂的声音,现在的蔷薇丛和在水池天体上的周边海域都成了危险海域,大约需要一个月的时间来让蔷薇丛的崩壳稳定下来。

爱丽小窝在蔷薇丛高处,就没有受到崩裂是直接影响,下方枝丫振动时,也只是抖了些灰尘在爱丽小窝。

“天子,在画什么呢?”快乐爱丽在客厅,看着炽天子画在纸上的线条。

“哦,这就是条二次函数曲线,没什么的。”炽天子说着,拿起纸端详着函数曲线。

“仔细和我说说嘛,天子。”快乐爱丽撒娇一样,因为她看着炽天子在画图算二次函数围成的面积,居然没有用微积分来计算。

“好吧,我下面仔细说。”炽天子深呼唤着,整理思路。

(二)

炽天子先画了个直角坐标系,这样的坐标系是笛卡尔坐标系的直角形态。

然后画上函数:哇等于哎的平方,这个图像,然后在图像与哎轴围成的区域上画上阴影,就取哎轴上的范围零到一之间,记录这个面积为「啊」,这个图为图零。

然后画哎轴的一到二区域的面积,图为图一,这个区间上,哇轴上的零到一的区域,就形成面积为一的正方形,这个正方形上面的剩下的围成的阴影面积,记录标记为「哔」。

标记好后先进行一个证明:哇等于哎的平方,在哎轴零到二的区间围成的面积为「啊」的八倍。

“前面的都理解吗?——当然,就画图标记嘛。”炽天子和快乐爱丽解释交流着,可得清楚这个语言描述模式,虽然没有数学那样高效,但还是要尽可能说清楚点。

继续,证明如下:首先将哇等于哎的平方的图形长宽乘以二,得到图二,图二的函数曲线解析式就等于:二倍哇等于哎的平方,写作哇等于二分之(哎的平方)。

由于长宽放大二倍的关系,图二的哎轴上零到二围成的面积是图零的四倍,即图二零到二区间的面积为四倍「啊」。

再将哇等于二分之(哎的平方)朝哇轴放大两倍,函数解析式就等于哇等于哎的平方,图二正好放大变换成了图一。

因为这个哇轴放大二倍的关系,可得,图一为图二面积的二倍,故,图一为图零面积的二乘四等于八倍。

(三)

快乐爱丽仔细梳理着,这两个变换的确是让面积成倍数,而恰好是能让图二变换成图一,也正好证明了图二是图零面积的八倍,即,图二面积为八「啊」。

“我理一下,图零指的是哇等于哎的平方上哎轴零到一与曲线围成的投影面积,而图一指的是哇等于哎的平方上哎轴零到二与曲线围成的投影面积,图一面积证明为八「啊」。”炽天子强调着上面的证明,快乐爱丽点点头。

炽天子继续画图,在图一上画图,画出哎等于一,哎等于二,哇等于一,三条直线将图一分隔成三份,图上可以看从左到右和从下到上,三份区域分别为图零,正方体,和剩下的「哔」面积的图。

“接下来,建立个局部坐标系,就以图一的(一,一)点为原点,那么「哔」面积的图的解析式就是——哇等于{(哎的平方)减去(二倍哎)}。”炽天子说着,不过炽天子没法说清楚标点符号表达的计算优先级,于是一边说,一边写在草稿纸上。

“这个新函数在哎轴零到一上围成的面积就是「哔」,记录该图为图四。”炽天子继续强调着,生怕漏掉了什么关键逻辑。

“嗯,这个函数的解析式用解析式的原点变换就能算了,也可以用三点法代入重新算这二次函数。”快乐爱丽一边补充着,期待炽天子接下来的计算。

(四)

接着,用哇等于{(哎的平方)减去(二倍哎)}这个函数,减去哇等于哎的平方的函数,主要就是右边的解析式相减,在哎轴零到一上,表达出的图像操作,就是图四减图零,得到又一个新函数,哇等于二倍哎,正好把前面两个函数中的哎的平方这项给减去了。

而哇等于二倍哎,在哎轴零到一上,围成的面积,就用三角形面积计算,一乘二除以二等于一。

综上,表达成图形面积就是:「哔」减去「啊」等于一。

继续,从图一的构成来看,图一面积为八倍「啊」,图一中图四面积为「哔」,可以得出「哔」的表达式:「哔」等于八倍「啊」减去「啊」再减一。减去的单独的「啊」就是图零,后面减的一就是前面说的正方形。

整合下得出二元一次的方程组:

「哔」等于七倍「啊」减一。

「哔」减「啊」等于一。

故,解得「啊」等于三分之一,「哔」等于三分之四。

“所以,综上所述,这个图零的面积就等于三分之一,也就是说,哇等于哎的平方在哎轴零到一上投影围成的面积就是三分之一。”炽天子说着最后解出的结论,快乐爱丽再次梳理着。

“喔喔,好巧啊,就通过图形和函数变换的方法,就算出了二次函数的和哎轴围成的面积。”米字爱丽说着,她感叹着这个巧妙的发现。

“不过还是用微积分的方法来算快些,如果一些函数的图像复杂起来,不一定保证能用同样的方法来这样减去面积。”炽天子说着。

(五)

快乐爱丽给炽天子整理着这个小小的发现,虽然计算过程只取了零到一来算,其实是还能形成扩展变换的,就是把哎轴上的一替换成一个任意未知数,然后再以未知数代入计算上面的过程,如果最后得出的结果是和这个未知数相关的三分之一倍数,那就说明这个方法证明了这个图形法的二次函数的计算通用性。

“那要不试试三次函数,四次函数?”快乐爱丽问着。

“不了,现在都到凌晨了。”炽天子说着,然后洗洗睡了。

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